T-ravnalo (fraktal)

Izvor: Wikipedia
T-ravnalo, 8. iteracija

T-ravnalo je fraktal fraktalne dimenzije 2, a topološke 1. Ime je dobio po crtaćem priboru.

Konstrukcija[uredi - уреди]

Počnimo od kvadrata (zvat ćemo ga graničnim kvadratom), bijele boje na slici ispod, i od njega oduzmimo kvadrat upola kraće stranice smješten u sredinu graničnog kvadrata, crne boje (prva iteracija). Granični kvadrat podijelimo na četiri jednaka kvadrata i ponovimo postupak (druga iteracija). Svaki od ta četiri kvadrata podijelimo na još četiri itd. T-ravnalom zovemo granicu crne i bijele površine.

T-Square fractal (evolution).png

Svojstva[uredi - уреди]

T-ravnalo je beskonačno duga krivulja, ali ona okružuje konačnu površinu. Duljina krivulje nakon prve iteracije jest 4, ako uzmemo da granični kvadrat (vidi iznad) ima dimenzije 2 × 2, a površina 1. Nakon prve iteracije od prvog kvadrata ostaju 4 dužine duljine po \frac{1}{2} te se dodaju još 4 kvadrata s dvije stranice duljine \frac{1}{2} i dvije duljine \frac{1}{4}, pa je to 2 + 6 = 8. Površina se poveća za \frac{3}{4} (četiri dodatna kvadrata površine \frac{1}{4}, ali bez svoje jedne četvrtine). Nakon druge iteracije, duljina krivulje jest 2 od prvog kvadrata, 3 od kvadratâ iz prve iteracije (od svakog od četiri kvadrata ostaje \frac{3}{4}) te 9 od novih kvadrata (duljina granice svakog od 12 kvadrata jest \frac{3}{4}), dakle 2 + 3 + 9 = 14. Površina se povećava za \frac{9}{16} (svaki od 12 kvadrata ima površinu \frac{3}{64}). Prema tome, nakon beskonačnog broja iteracija, duljina krivulje je beskonačna, a površina, prema formuli za sumu geometrijskog reda, četiri puta veća od prvog kvadrata, odnosno jednaka površini graničnog kvadrata:

1 + \frac{3}{4} + \frac{9}{16} + \cdots = \frac{1}{1-\frac{3}{4}} = 4.

Vidi još[uredi - уреди]