Linearna jednačina
Linearna jednačina je algebrska jednačina u kojoj je svaki član bilo konstanta ili proizvod konstante i jedne promenljive prvog reda.
O pravcu se može razmišljati kao o najkraćoj udaljenosti između dviju točaka ili kao o krivulji s beskonačno velikim radijusom zakrivljenosti. Pojmovi kao što su točke i pravci te njihovi jednostavni i složeniji odnosi u prostoru jedan su od temelja Euklidske geometrije, a kasnije i analitičke geometrije kakvu je danas poznajemo.
Jednadžba pravca[uredi | uredi kod]
Implicitna jednadžba pravca[uredi | uredi kod]
Razmatramo li jednakost oblika
ustanovit ćemo da postoji beskonačan broj parova x,y koji udovoljavaju jednakosti. Kako svaki uređen par brojeva u kartezijanskom koordinatnom sustavu x0y određuje koordinate jedne točke, grafički prikaz svih točaka daje nam sliku pravca u ravnini, a gore prikazanu jednadžbu nazivamo implicitnom ili općom jednadžbom pravca.
Eksplicitna jednadžba pravca[uredi | uredi kod]
Preuredimo li implicitnu jednadžbu pravca
u drugi oblik kako slijedi
naći ćemo i eksplicitnu jednadžbu pravca koja se može zapisati i u obliku
gdje a i b ovise o A, B i C na način da je
Eksplicitna jednadžba pravca izravno prikazuje koficijent smjera pravca, odn. nagib pravca a te odsječak b koji pravac određuje na y-osi, odn. ordinati.
Segmentna jednadžba pravca[uredi | uredi kod]
Preuredimo li sada eksplicitnu jednadžbu pravca
u treći oblik kako slijedi
naći ćemo i jednadžbu pravca u segmentnom obliku gdje su b i -b/a segmenti ili odsječci na y, odn. x-osi. Segmentna jednadžba pravca može se zapisati i u sljedećem obliku
gdje su
Druge oznake[uredi | uredi kod]
Ponekad se implicitna jednadžba pravca iskazuje u obliku
gdje se tada eksplicitna jednadžba pravca prikazuje kao
gdje je k koeficijent smjer pravca, a l odsječak na y-osi.
Određenost pravca[uredi | uredi kod]
Pravac je u ravnini određen ili sa zadanom točkom kroz koju prolazi pravac i koeficijentom smjera ili s dvjema zadanim točkama kroz koje pravac prolazi.
Pravac određen točkom i koeficijentom smjera[uredi | uredi kod]
Neka je pravac određen točkom i koeficijentom smjera a. Jednadžba pravca se u tom slučaju uobičajeno prikazuje u obliku
- .
Pravac određen dvjema točkama[uredi | uredi kod]
Pravac je po definiciji određen dvjema točkama koje nisu jednake, a jednadžba pravca koji prolazi kroz dvije točke i prikazuje se uobičajeno u obliku
- .
Značaj[uredi | uredi kod]
Pravac, njegovu grafičku i matematičku interpretaciju nalazimo u brojnim područjima matematike i ne samo matematike. Naime, razmotrimo li eksplicitni oblik jednadžbe pravca
i ukoliko definiramo da je x slobodna promjenljiva veličina, odn. nezavisna varijabla, a y zavisna varijabla gdje će nezavisna varijabla poprimati vrijednosti iz domene realnih brojeva i gdje će se svakom elementu domene pridružiti jedan i samo jedan odgovarajući element kodomene, tada gore prikazani izraz možemo nazvati funkcijom gdje je
Kodomenu nazivamo i područjem vrijednosti funkcije, a u slučaju gdje je funkcija oblika: , funkciju nazivamo i linearnom funkcijom, a pravac grafom ili grafičkim prikazom takve funkcije. Linearna funkcija uključuje i proporcionalnu, odn. razmjernu funkciju oblika
koju slijede brojni prirodni zakoni i pojave u svim područjima znanosti.
Literatura[uredi | uredi kod]
- Barnett, R.A.; Ziegler, M.R.; Byleen, K.E. (2008), College Mathematics for Business, Economics, Life Sciences and the Social Sciences (11th izd.), Upper Saddle River, N.J.: Pearson, ISBN 0-13-157225-3
- Hans Wilhelm Alt: Lineare Funktionalanalysis: Eine anwendungsorientierte Einführung. 5. Auflage. Springer-Verlag, 2008, ISBN 3-540-34186-2.
- Bernd Aulbach: Gewöhnliche Differenzialgleichungen. 2. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, 2004, ISBN 3-827-41492-X.
- Albrecht Beutelspacher: Lineare Algebra. Eine Einführung in die Wissenschaft der Vektoren, Abbildungen und Matrizen. 7. Auflage. Vieweg, 2009, ISBN 3-528-66508-4.
- Peter Bundschuh: Einführung in die Zahlentheorie. 6. Auflage. Springer-Verlag, 2010, ISBN 3-540-76490-9.
- Gerd Fischer: Lineare Algebra: Eine Einführung für Studienanfänger. 17. Auflage. Vieweg Verlag, 2009, ISBN 3-834-80996-9.
- Günter Gramlich: Lineare Algebra. Fachbuchverlag Leipzig im Carl Hanser Verlag, 2003, ISBN 3-446-22122-0.
- Jürgen Jost: Partielle Differentialgleichungen: Elliptische (und parabolische) Gleichungen. 1. Auflage. Springer-Verlag, 2009, ISBN 3-540-64222-6.
Vanjske veze[uredi | uredi kod]
- Linear Equations and Inequalities Arhivirano 2014-11-15 na Wayback Machine-u Open Elementary Algebra textbook chapter on linear equations and inequalities.
- Hazewinkel Michiel, ur. (2001). „Linear equation”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1-55608-010-4.