Lenard-Džonsov potencijal

Izvor: Wikipedia

Lenard-Džounsov potencijal je jedan od fizičkohemijskih modela kojim se opisuje zavisnost energije uzajamnog delovanja neutralnih čestica od njihovog međusobnog rastojanja. Nazvan je po svom autoru Džonu Lenard-Džonsu.

Između neutralnih čestica (atoma i molekula) deluje sila koja, zavisno od njihovog međusobnog rastojanja, može biti privlačna ili odbojna. Na velikim rastojanjima sila je privlačna (van der Valsova sila ili disperziona sila ili Londonova sila) a na malim sila je odbojna. Privlačna sila posledica je pokretljivosti atomskog i molekulskog naeletrisanja zbog čega neutralne čestice mogu jedna u drugoj da indukuju dipole koji se međusobno privlače. Potencijalna energija u polju privlačne sile je negativna. Međutim, na kratkim rastojanjima kada naeletrisanja iz različitih čestica počnu da se prekrivaju dolazi do odbijanja čestica. Potencijal u polju odbojne sile je pozitivan. Lenard-Džounsov potencijal predstavlja jednostavan matematički model u kojem je ukupni potencijal međudelovanja prikazan zbirom potencijala privlačne i odbojne sile. Džon Lenard-Džouns sa univerziteta u Bristolu predložio je formulu 1931. godine.[1]

Lenard-Džounsov potencijal dimera argona: crveno - empirijska kriva, tačkasto - Lenard-Džounsova formula.

Jednačina[uredi - уреди]

Lenard-Džounsov porencijal (L-J) ima dva člana, pozitivni kojim se predstavlja odbijanje i negativni kojim se predstavlja privlačenje među neutralnim česticama:

V(r)=4\varepsilon \begin{bmatrix} \begin{pmatrix}{\sigma \over r}\end{pmatrix}^{12} - \begin{pmatrix}{\sigma \over r}\end{pmatrix}^{6}\end{bmatrix}

Ovde ε predstavlja dubinu poencijalne jame a σ je radijus čestice predstavljene kao čvrsta sfera. Dakle, član \begin{pmatrix}{1 \over r}\end{pmatrix}^6 označava odbojnu silu a član \begin{pmatrix}{1 \over r}\end{pmatrix}^{12} privlačnu.

Minimum L-J potencijal postiže kada se delovanja privlačne i odbojne sile uzajamno ponište. Rastojanje pri kojem se to dešava nazivamo ravnotežnim:
r_0 = 2^{1/6} \sigma.

Sila je negativni gradijent potencijala polja pa iz gornjeg izraza nalazimo zavisnost sile od rastojanja:

 \mathbf{F}(r) = - \nabla V(r) = - \frac{d}{dr} V(r) \hat{\mathbf{r}} = 4 \epsilon \left(12\,{\frac {{\sigma}^{12}}{{r}^{13}}}-6\,{\frac{{\sigma}^{6}}{{r}^{7}}} \right) \hat{\mathbf{r}}

L-J potencijal je približni potencijal. Oblik odbojnog člana nema teorijskog opravdanja; odbojni član bi trebalo eksponencijalno da pada sa rastojanjem. Međutim zavisnost koju je pedložio Lenard-Džouns je zgodna jer se lao izračunava (ond anije bilo računara) kao kvadrat privlačnog člana, r6. Privlačni potencijal koji ima daleki domet izveden je iz Lonodnove disperzione sile. L-J potencijal je relativno dobra aproksimacija i zbog jednostavnosti često se koristi za opisivanje gasova, i modelovanje disperzije i preklapanja u molekulskim modelima. Posebno je zgodan za opisivanje atoma inertnih gasova a dobra je aproksimacija pri velikim i srednjim rastojanjima kod neutralnih molekula. Na crtežu je prikazan L-J potencijal za dimer argona, u poređenju sa empirijskim potencijalom. Malo neslaganje posledica je netačnosti u odbojnom delu L-J potencijala.


Alternativni izrazi[uredi - уреди]

Funkcija L-J potencijala često se izražava i kao

V(r) = \epsilon \left[ \left(\frac{r_{min}}{r}\right)^{12} - 2\left(\frac{r_{min}}{r}\right)^{6} \right]

gde je

\, r_{min} = \, 2^{1/6}\sigma ravnotežno rastojanje (rastojanje na minimumu potencijala).

Često se koristi i oblik

V(r) = \frac{A}{r^{12}} - \frac{B}{r^6}

gde je

\, A = 4 \epsilon \sigma^{12}
\, B = 4 \epsilon \sigma^6
 \sigma = \left(\frac{A}{B} \right)^{ \frac{1}{6} }

i

\epsilon = \frac{B^2}{4 A}.

Reference[uredi - уреди]

  1. Lennard-Jones, J. E. Cohesion. Proceedings of the Physical Society 1931, 43, 461-482.

Vidi još[uredi - уреди]