Lagranžov polinom

Interpolacija putem Lagranžovih polinoma je postupak u kome je za $n+1$ tačaka uz pomoć Langražovih polinoma potrebno da se nađu nove vrednosti neke nepoznate funkcije ili funkcije čije je izračunavanje preteško (vremenski prenaporno ili čak nemoguće).

Slika prikazuje četiri tačke ((−9, 5), (−4, 2), (−1, −2), (7, 9)), i (kubni) interpolacioni polinom L(x), koji je zbir skaliranih baznih polinoma y₀l_{0(x), y1l1(x), y2l2(x) i y3l3(x). Interpolacioni polinom prolazi kroz sve četiri kontrolne tačke, i svaki skalirani bazni polinom prolazi kroz svoju kontrolnu tačku, i jednak je 0 tamo gde x odgovara ostalim trima kontrolnim tačkama.}

Ideja iza postupka je vrlo slična drugim metodama (Njutnovoj metodi, na primer): Polazeći od poznatih tačaka konstruiše se nova osnova nekog prostora. Onda se data funkcija (odnosno njene poznate vrednosti za date tačke) transformiše u taj novi prostor. Malo neformalnije rečeno, od nje se pravi polinom, a ona služi pre svega kao uzor. Time se dobija nova, približna funkcija (polinom) koji može da se izračuna.

Osnova za Langražov polinom je:

$l_{i}(x) = \prod_{j=0, j \neq i}^{n} \frac{x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}$

Približna funkcija koja aproksimira $f(x)$ je $P(x)$; $x_i$ su tačke za koje su poznate vrednosti date funkcije:

$P(x) = \sum_{i=0}^{n} f(x_{i})l_{i}(x)$

Gledajući $l_{i}(x)$ za $i \in \{1,2,3,4,5\}$:

$l_0(x)={x - x_1 \over x_0 - x_1}\cdot{x - x_2 \over x_0 - x_2}\cdot{x - x_3 \over x_0 - x_3}\cdot{x - x_4 \over x_0 - x_4}$

$l_1(x)={x - x_0 \over x_1 - x_0}\cdot{x - x_2 \over x_1 - x_2}\cdot{x - x_3 \over x_1 - x_3}\cdot{x - x_4 \over x_1 - x_4}$

$l_2(x)={x - x_0 \over x_2 - x_0}\cdot{x - x_1 \over x_2 - x_1}\cdot{x - x_3 \over x_2 - x_3}\cdot{x - x_4 \over x_2 - x_4}$

$l_3(x)={x - x_0 \over x_3 - x_0}\cdot{x - x_1 \over x_3 - x_1}\cdot{x - x_2 \over x_3 - x_2}\cdot{x - x_4 \over x_3 - x_4}$

$l_4(x)={x - x_0 \over x_4 - x_0}\cdot{x - x_1 \over x_4 - x_1}\cdot{x - x_2 \over x_4 - x_2}\cdot{x - x_3 \over x_4 - x_3}$

postaje jasnije zašto su takvi polinomi baš izabrani. Na svim mestima $x_{j \neq i}$ polinom ima nulto mesto, a kod $x_i$ ima vrednost 1. Tako je osigurano da će navedeni polinom da prođe tačno kroz date tačke odnosno da će za sve $P(x_i)$ da važi $P(x_i) = f(x_i)$.

Primer

Poznata je vrednost polinoma u 3 različite tačke :

X	1	2	3
Y	3	-1	1

Ekstrapolacijom se dobija polinom :

$P(x)=3\cdot{x - 2 \over 1 - 2}\cdot{x - 3 \over 1 - 3} + (-1)\cdot{x - 1 \over 2 - 1}\cdot{x - 3 \over 2 - 3} + 1\cdot{x - 1 \over 3 - 1}\cdot{x - 2 \over 3 - 2}$