Kinetička teorija plinova

Temperatura idealnog plina je mjera prosječne kinetičke energije molekula

Kinetička teorija plinova opisuje plin kao veliki broj mikroskopskih čestica (atoma ili molekula), koje su u neprestanom slučajnom kretanju. Brze čestice koje se kreću, stalno se međusobno sudaraju, a i sa stijenkama spremnika, u kojem se nalazi plin. Kinetička teorija plinova objašnjava makroskopska svojstva plinova, kao što su tlak, temperatura i obujam, razmatrajući njihov sastav i kretanja.

Dokaz za kinetičku teoriju plinova je Brownovo gibanje, koji je primijetio kretanje peluda ispod mikroskopa, a koje nastaje zbog kretanja i sudaranja nevidljivih čestica. Kao što je naglasio Albert Einstein 1905., eksperimentalni dokazi kinetičke teorije plinova su ujedno i dokazi postojanja atoma i molekula.

Pretpostavke

Kinetička teorija plinova se zasniva na slijedećim pretpostavkama:

• plin se sastoji od vrlo malih čestica, koji imaju neku masu
• broj čestica u plinu je toliko velik, da se mogu primijeniti statistički zakoni
• ti atomi i molekule su u stalnom i slučajnom kretanju. Brze pokretne čestice se stalno sudaraju sa stijenkama spremnika u kojem se nalaze
• sudari čestica i stijenki spremnika su savršeno elastični
• osim za vrijeme sudara, međudjelovanje između molekula je zanemarivo (nema međumolekularnih sila)
• ukupni obujam čestica plina je zanemariv u usporedbi sa obujmom spremnika u kojem se nalaze. Drugim riječima, veličina molekula je zanemariva u odnosu na razmak izmedu njih
• molekule imaju oblik savršene kugle i elastične su
• prosječna kinetička energija čestica plina ovisi samo o temperaturi sustava
• utjecaj posebne teorije relativnosti je zanemariv
• utjecaj kvantne mehanike je zanemariv. To znači da je udaljenost između čestica puno veća od toplinske de Broglieve valne duljine i molekule se promatraju kao objekti klasične mehanike
• vrijeme sudara čestica sa stijenkom spremnika je zanemarivo u usporedbi sa vremenom između sudara

Svojstva

Tlak

Tlak prema kinetičkoj teoriji plinova nastaje udaranjem čestica plina na stijenke spremnika u kojem se nalaze. U spremniku ima N molekula, svaka molekula ima masu m, a spremnik ima obujam V=L³. Kada molekula plina udari okomito u stijenku spremnika, onda količina gibanja koju izgubi molekula, a dobije stijenka spremnika iznosi:

$\Delta p=p_{i,x}-p_{f,x}=2mv_{x}\,$

gdje je v_x početna brzina čestice x. Čestica udari u stijenku spremnika svakih:

$\Delta t={\frac {2L}{v_{x}}}$

gdje je L udaljenost između stijenki spremnika. Sila kojom čestica djeluje na stijenku spremnika je:

$F={\frac {\Delta p}{\Delta t}}={\frac {mv_{x}^{2}}{L}}.$

Ukupna sila na zid stijenke iznosi:

$F={\frac {Nm{\overline {v_{x}^{2}}}}{L}}$

gdje se gornja formula odnosi na prosječan broj N čestica koje udaraju u zid, a pretpostavka prema molekularnom neredu iznosi ${\overline {v_{x}^{2}}}={\overline {v^{2}}}/3$, pa se sila može izraziti:

$F={\frac {Nm{\overline {v^{2}}}}{3L}}.$

ta sila pritišće površinu L², pa tlak iznosi:

$P={\frac {F}{L^{2}}}={\frac {Nm{\overline {v^{2}}}}{3V}}$

gdje je V=L³ obujam spremnika. Razlomak n=N/V je gustoća čestica plina (gustoća mase iznosi ρ=nm). Koristeći n, možemo tlak izraziti kao:

$P={\frac {nm{\overline {v^{2}}}}{3}}.$

To je prvi značajan rezultat kinetičke teorije plinova, gdje se tlak kao makroskopska pojava objašnjava sa mikroskopskom kinetičkom energijom molekula ${1 \over 2}m{\overline {v^{2}}}$.

Temperatura i kinetička energija

Iz jednadžbe stanja idealnog plina:

$\displaystyle PV=Nk_{B}T$

(1)

gdje je k_B – Boltzmannova konstanta i T – apsolutna temperatura i iz gornje jednažbe kinetičke teorije plinova za tlak:

$P={Nmv^{2} \over 3V}$ dobivamo $PV={Nmv_{rms}^{2} \over 3}$

dobivamo $\displaystyle Nk_{B}T={\frac {Nmv_{rms}^{2}}{3}}$

onda temperatura T dolazi:

$\displaystyle T={\frac {mv_{rms}^{2}}{3k_{B}}}$

(2)

i vodi prema izrazu kinetičke energije molekula:

$\displaystyle {\frac {1}{2}}mv_{rms}^{2}={\frac {3}{2}}k_{B}T.$

Kinetička energija cijelog sustava je N puta veća:

$K={\frac {1}{2}}Nmv_{rms}^{2}$

Pa temperatura postaje:

$\displaystyle T={\frac {2}{3}}{\frac {K}{Nk_{B}}}.$

(3)

To je vrlo važan rezultat kinetičke teorije plinova: prosječna molekularna kinetička energija je proporcionalna apsolutnoj temperaturi. Kombiniranjem možemo dobiti:

$\displaystyle PV={\frac {2}{3}}K.$

(4)

To znači da je umnožak tlaka i obujma, po molu plina, proporcionalan sa prosječnom molekularnom kinetičkom energijom.

Sudari sa spremnikom

Za idealni plin, prema kinetičkoj teoriji plinova, može se izračunati broj sudara molekula sa spremnikom, po jedinici vremena i po jedinici površine:

$A={\frac {1}{4}}{\frac {N}{V}}v_{avg}={\frac {\rho }{4}}{\sqrt {\frac {8k_{B}T}{\pi m}}}.\,$

Brzina molekula

Iz kinetičke teorije plinova može se izračunati prosječna brzina molekula:

$v_{rms}^{2}={\frac {3RT}{\mbox{molarna masa}}}$

gdje je: v_rms - prosječna brzina molekula (m/s), T – apsolutna temperatura (K), R – univerzalna plinska konstanta, molarna masa (kg/mol).

Povijest

Začetnik kinetičke teorije plinova je Daniel Bernoulli, koji je 1738. izdao knjigu Hydrodynamica. On je tvrdio da se plinovi sastoje od velikog broja molekula, koje se stalno kreću u svim smjerovima, i da njihovi udarci na stijenke spremnika stvaraju tlak, a da je toplina koju osjećamo ustvari kinetička energija kretanja molekula. Ta teorija u početku nije imala uspjeha, tek nakon zakona o očuvanju energije, postaje opće prihvaćena.

Ostali značajni prestavnici kinetičke teorije plinova su Mihail Lomonosov, Rudolf Clausius, James Maxwell, Ludwig Boltzmann i na kraju Albert Einstein, koji je pokazao da atomi i molekule nisu samo teoretske čestice, nego i da postoje u stvarnosti.

Izvori

• Clausius, R.: "Ueber die Art der Bewegung, welche wir Wärme nennen", journal =Annalen der Physik, 1857., [1]
• Einstein, A.: "Über die von der molekularkinetischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen", journal =Annalen der Physik, 1905. [2] Arhivirano 2005-04-10 na Wayback Machine-u
• Herapath, J.: "On the physical properties of gases", journal =Annals of Philosophy, 1816., [3], publisher= Robert Baldwin
• Herapath, J.: "On the Causes, Laws and Phenomena of Heat, Gases, Gravitation", 1821., journal= Annals of Philosophy, [4], publisher=Baldwin, Cradock, and Joy
• Krönig, A.: "Grundzüge einer Theorie der Gase", journal =Annalen der Physik, 1856., [5]
• Le Sage G.-L.: "Physique Mécanique des Georges-Louis Le Sage", 1818., publisher=J.J. Paschoud, [6]
• Lomonosow, M.: "On the Relation of the Amount of Material and Weight", 1758./1970.journal= Mikhail Vasil'evich Lomonosov on the Corpuscular Theory, publisher=Harvard University Press, [7]
• Mahon Basil: "The Man Who Changed Everything – the Life of James Clerk Maxwell", publisher=Wiley, 2003.
• Maxwell James Clerk: "Molecules", journal =Nature, 1873., [8] Arhivirano 2007-07-22 na Wayback Machine-u, Scholar search
• Smoluchowski M.: "Zur kinetischen Theorie der Brownschen Molekularbewegung und der Suspensionen", journal =Annalen der Physik, 1906., [9]
• Waterston John James: "Thoughts on the Mental Functions", 1843.
• Williams M. M. R.: "Mathematical Methods in Particle Transport Theory", Butterworths, London, 1971.
• de Groot S. R., W. A. van Leeuwen and Ch. G. van Weert: "Relativistic Kinetic Theory", North-Holland, Amsterdam, 1980.
• Liboff R. L.: "Kinetic Theory", Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N. J., 1990.
• Ivo Batistić, Fizički odsjek, PMF, Sveučilište u Zagrebu: "Kinetička teorija plinova" [10] Arhivirano 2016-03-04 na Wayback Machine-u