Inverz (matematika)

U matematici, pojam inverznog elementa predstavlja uopštenje pojmova negacije, u odnosu na sabiranje, i recipročnosti, u odnosu na množenje. Intuitivno, inverz može da poništi efekat kombinacije nekog elementa sa drugim datim elementom.

Formalna definicija

Neka je $S$ skup sa binarnom operacijom $*$. Ako je $e$ neutralni element za $(S,*)$ i $a*b=e$, onda je $a$ levi inverz od $b$ a $b$ je desni inverz od $a$. Ako je element $x$ ujedno i levi i desni inverz od $y$, onda se $x$ naziva dvostranim inverzom, ili prosto inverzom, od $y$. Element koji ima dvostrani inverz u $S$ se naziva invertibilnim u $S$. Element koji ima inverz samo sa jedne strane je levo invertibilan, ili desno invertibilan.

Kao što je za $(S,*)$ moguće da ima više levih identiteta ili više desnih identiteta, moguće je da element ima više levih inverza ili više desnih inverza (ali treba imati u vidu da njihova gornja definicija koristi dvostrani identitet, $e$). Element može čak da ima više levih inverza i više desnih inverza.

Ako je operacija $*$ asocijativna, onda ako element ima i levi i desni inverz, oni su jednaki i jedinstveni. U ovom slučaju, skup (levo i desno) invertibilnih elemenata je grupa koja se naziva grupom jedinica od $S$, u oznaci $U(S)$ ili $S^*$.

Računanje

Svaki realan broj $x$ ima aditivni inverz (inverz u odnosu na sabiranje) jednak $-x$. Svaki realan broj različit od nule, $x$ ima multiplikativni inverz (inverz u odnosu na množenje) jednak $\frac 1{x}$. Nula nema multiplikativni inverz.

Funkcija $g$ je levi (ili desni) inverz funkcije $f$ (za kompoziciju funkcija), ako i samo ako je $g o f$ (ili $f o g$) funkcija identiteta na domenu (ili kodomenu) funkcije $f$.

Kvadratna matrica $M$ sa elementima iz polja $K$ je invertibilna (u skupu svih kvadratnih matrica iste dimenzije, u odnosu na množenje matrica) ako i samo ako je njena determinanta različita od nule. Ako je determinanta matrice $M$ jednaka nuli, nemoguće je da ta matrica ima jednostrani inverz; stoga postojanje levog inverza implicira postojanje desnog (i obratno). Vidi invertibilna matrica za detaljniji opis.

Opštije, kvadratna matrica nad komutativnim prstenom $R$ je invertibilna ako i samo ako je enjna determinanta invertibilna u $R$.

Nekvadratne matrice punog ranga imaju jednostrane inverze:

• Za $A:m\times n \mid m>n$ postoji levi inverz: $\underbrace{ (A^{T}A)^{-1}A^{T} }_{ A^{-1}_\text{left} } A = I_{n}$
• Za $A:m\times n \mid m<n$ postoji desni inverz: $A \underbrace{ A^{T}(AA^{T})^{-1} }_{ A^{-1}_\text{right} } = I_{m}$

Nijedna matrica koja nije punog ranga nema bilo kakav (ni jednostrani) inverz. Međutim, Mur-Penrouzov pseudoinverz postoji za sve matrice, i poklapa se sa levim ili desnim (ili dvostranim) inverzom ako on postoji.

Primer

$A:2\times 3 = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}$
Dakle, kako je $m<n$, postoji desni inverz. $A^{-1}_{desni} = A^{T}(AA^{T})^{-1}$
$AA^{T} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} 1 & 4\\ 2 & 5\\ 3 & 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 14 & 32\\ 32 & 77 \end{bmatrix}$
$(AA^{T})^{-1} = \begin{bmatrix} 14 & 32\\ 32 & 77 \end{bmatrix}^{-1} = \frac{1}{54} \begin{bmatrix} 77 & -32\\ -32 & 14 \end{bmatrix}$

$A^{T}(AA^{T})^{-1} = \frac{1}{54}\begin{bmatrix} 1 & 4\\ 2 & 5\\ 3 & 6 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 77 & -32\\ -32 & 14 \end{bmatrix} = \frac{1}{18} \begin{bmatrix} -17 & 8\\ -2 & 2\\ 13 & -4 \end{bmatrix} = A^{-1}_{desni}$

Levi inverz ne postoji, jer $A^{T}A = \begin{bmatrix} 1 & 4\\ 2 & 5\\ 3 & 6 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 17 & 22 & 27 \\ 22 & 29 & 36\\ 27 & 36 & 45 \end{bmatrix}$, što je singularna matrica, koja ne može da se invertuje.