Duljina luka

Izvor: Wikipedia
Nakon ispravljanja, krivulja daje pravocrtni segment iste duljine kao krivuljin luk

Duljina luka krivulje je granična vrijednost kojoj teži dužina u krivulji (u luk krivulje) upisanih izlomljenih linija kad se broj njihovih pravolinijskih segmenata neograničeno povećava tako da dužina najvećeg segmenta teži nuli. Opseg kruga (dužina kružnice) se može smatrati kao granična vrijednost opsega upisanih i opisanih konveksnih n-to kutova kada broj njihovih strana (n) neograničeno raste i duljina najveće strane teži nuli. Opseg kruga (kružnice) izračunava se po formuli l=2\pi r\,. Za neprekidne krivulje spomenuta granična vrijednost uvijek postoji kao konačna ili beskonačna. Ako je ova granična vrijednost konačna, za krivulju (njen luk) se kaže da se može rektificirati (da je rektifikabilna). Uvjet rektifikabilnosti je ustanovio C. Jordan (v. Jordanova krivulja).

Ako je krivulja u ravni data pravokutnim Dekartovim koordinatama, jednadžbom y=f(x),\, gde je a \le x \le b\,, i ako funkcija y=f(x)\, ima neprekidnu derivaciju f'(x),\, njena duljina se izračunava po formuli:

l=\int_a^b\sqrt{1+[f'(x)]^2}\,dx;

Ako je krivulja data parametarskim jednadžbama x=x(t), \; y=y(t), gdje je a \le t \le b,\, njena duljina je:

l=\int_a^b\sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2}\,dt.

Analogno ovome definira se i dužina krivulje u prostoru.