Diskretna furijeova transformacija

Izvor: Wikipedia

Diskretna Furijeova transformacija ili DFT jeste Furijeova transformacija diskretnog i konačnog (ili periodičnog) signala. Diskretna Furijeova transformacija je time i specijalni oblik Z-transformacije kod koje se z nalazi na jediničnom krugu. Često se koristi pri obradi digitalnih signala, a najpoznatiji algoritam za to je brza furijeova transformacija (FFT, Fast Fourier Transformation, engl.).

Diskretna Furijeova transformacija može da posluži takođe za aproksimaciju (u određenim slučajevima i rekonstrukciju) funkcije koja odgovara signalu ili kao implementacija digitalnih filtera.

Putem inverzne Furijeove transformacije se iz Furijeovih koeficijenata sklapa izlazni signal, a povezivanjem DFT i inverzne DFT možemo da manipulišemo frekvencijama (nalazi primenu pri ekvilajzerima i filterima).

Definicija[uredi - уреди]

Uzmimo da je R komutativan, unitaran prsten, u kojem je broj N jedinica. Dalje, u R je w jedinični koren.

Za vektor c=(c_0,\dots,c_{N-1})\in R^N je diskretna furijeova transformacija \hat c na sledeći način definisana:

\hat c_k = \sum_{j=0}^{N-1} w^{\,j\cdot k}\cdot c_j za k=0,\dots,N-1

A za \hat c_k, inverzna furijeova transformacija je

c_k = {1\over N}\sum_{j=0}^{N-1} w^{-j\cdot k}\cdot \hat c_j za k=0,\dots,N-1

DFT i IDFT u kompleksnom domenu[uredi - уреди]

U kompleksnom domenu koristimo w= e^{{2*\pi*k} \over n }, \quad k=0,1,\ldots, n-1.

Onda je DFT za c\in\Bbb C^N: \hat c_k = \sum_{j=0}^{N-1} e^{-2\pi \mathrm{i}\cdot\frac{jk}{N}}\cdot c_j za k=0,\dots,N-1,

a IDFT za \hat c\in\Bbb C^N: c_k=\frac 1 N \sum_{j=0}^{N-1} e^{2\pi \mathrm{i}\cdot\frac{jk}{N}}\cdot \hat c_j za k=0,\dots,N-1

DFT i IDFT u realnom domenu[uredi - уреди]

Računica u realnom domenu je:


\hat c_{N-k} 
= \sum_{j=0}^{N-1}e^{-2\pi \mathrm{i} \cdot\frac{j(N-k)}{N}} \cdot c_j
= \sum_{j=0}^{N-1}e^{-2\pi \mathrm{i} \cdot(\frac{jN}{N}-\frac{k}{N})} \cdot c_j
= \sum_{j=0}^{N-1}e^{-2\pi \mathrm{i} \cdot(\frac{jN}{N})}e^{2\pi \mathrm{i} \cdot(\frac{k}{N})} \cdot c_j
= \sum_{j=0}^{N-1}e^{-2\pi \mathrm{i} \cdot j}e^{2\pi \mathrm{i} \cdot(\frac{k}{N})} \cdot c_j

Ojlerov identitet glasi: e^{2 \pi \mathrm{i}}=1. Takođe važi \overline{e^{\mathrm{i}\phi}}=e^{-\mathrm{i}\phi} i \overline{z_1+z_2}=\overline{z_1} + \overline{z_2}.

Stoga možemo još uprostiti izraz:


\hat c_{N-k}
= \sum_{j=0}^{N-1}1 \cdot e^{2\pi \mathrm{i} \cdot(\frac{k}{N})} \cdot c_j
= \sum_{j=0}^{N-1}e^{2\pi \mathrm{i} \cdot\frac{k}{N}} \cdot c_j
= \sum_{j=0}^{N-1}\overline{e^{-2\pi \mathrm{i} \cdot\frac{k}{N}}} \cdot c_j
= \overline{\hat c_{k}}


Što će reći, \hat c\in\Bbb C^N nije realan, ali samo N nezavisnih vrednosti (umesto 2N).

Za IDFT možemo zaključiti sledeće: Ukoliko za \hat c\in\Bbb C^N važi \hat c_{N-k}=\overline{\hat c_k} za sve k=0,\dots,N-1, onda je IDFT realan vektor c\in\R^N.

Pomeranje i skaliranje u vremenu i frekvenciji[uredi - уреди]

Ako je signal periodičan, onda nije bitno da li transformišemo u opsegu 0,\dots,N-1 ili k,\dots,N-1+k. Indeksna promenljiva j treba da obuhvati N opseg, ali nije bitno gde on počinje odnosno gde se završava (ovo važi samo za slučaj da je signal periodičan, tj. da se vektor k,\dots,N-1+k periodično ponavlja). Prisetimo se: za w važi w^N = 1. Onda w^{N+k} = w^N \cdot w^k = 1 \cdot w^k = w^k.

U praksi često želimo da razlika u indeksima bude istovremeno i razlika u vremenu ili razdaljini dva merenja

t_n = nT, n=1-M,\dots,N-M, T je perioda našeg merenja.

Često želimo i da koeficijentima dodelimo frekvenciju tako da su centrirane oko 0

\omega_n:=2\pi\frac{n}{NT}, n=1-K,..., N-K, K je negde u blizini \frac{N}{2}.

Uzmimo neku funkciju f kojoj dodeljujemo x\in\Bbb C^N tako da x_n=f(t_n).

DFT je onda y_n=\hat f(\omega_n)=F(\omega_n).

Iz toga sledi:


F(\omega_n)=\sum_{j=1-M}^{N-M}e^{-2\pi \mathrm{i}\frac{njT}{NT}}x_j
=\sum_{j=1-M}^{N-M}e^{-\mathrm{i}\,\omega_n\cdot t_j}f(t_j)

a IDFT je


f(t_n)=x_n=\frac1N \sum_{j=1-K}^{N-K}e^{-2\pi \mathrm{i}\frac{nkT}{NT}}y_j
=\frac1N \sum_{j=1-K}^{N-K}e^{\mathrm{i}\omega_j\cdot t_n}F(\omega_j)

Primeri[uredi - уреди]

Primer filtera[uredi - уреди]

Naš cilj je da izbacimo sve frekvencije koje su „tiše“ (tj. koje imaju amplitudu) od 1 V. Prvo pravimo tabelu:

t_i =\, 0.5000 0.6000 0.7000 0.8000 0.9000 1.0000 1.1000 1.2000 1.3000 1.4000
f(t_i) =\, 12.5000 10.0995 7.6644 6.8554 9.7905 13.5000 11.7546 7.4815 8.2905 12.0636

Imamo 10 vrednosti na 1 sekundu, što će reći perioda našeg merenja je T = 0.1\,, a frekvencija freq = \frac{1}{T} = 10 Hz. Stoga mi možemo da rekonstruišemo talas do 5 Hz. Ukoliko u našem originalnom signalu ima frekvencija viših od 5 Hz onda će naša rekonstrukcija imati grešku. Ali, kao i uvek u životu, čovek mora biti optimističan te ćemo mi pretpostaviti da nema viših frekvencija (to je uostalom i jedan od razloga zašto kompakt-disk ima frekvenciju od oko 41 kHz; ljudsko uho može da registruje tek do 20 kHz!).

Sledi izračunavanje \omega_i\,. Nas zanimaju samo vrednosti vezane za pozitivne indekse:


n = 1-K,\ldots,N-K; K = N / 2 = 5;\,

n = -4,\ldots, 5\,

N \cdot T = 10 \cdot .1 = 1

\omega_0 = 2\pi\frac{0}{NT} = 0, \omega_1 = 2\pi, \omega_2=4\pi, \ldots, \omega_5=10\pi

Sada imamo sve vrednosti i možemo da počnemo sa računanjem:


F(\omega_0 = 0) = \sum_{j=0}^{N-1=9} e^{ -\mathrm{i} \cdot 0 \cdot t_j } \cdot f(t_j )
= \sum_{j=0}^{9} f(t_j) = 100 = y_0 = {\hat c}_0

F(\omega_1 = 2\pi) = \sum_{j=0}^{N-1=9} e^{ -\mathrm{i} \cdot 2\pi \cdot t_j } \cdot f(t_j) = \ldots = 0 -3.5\mathrm{i} = y_1 = {\hat c}_1



F(\omega_2 = 4\pi) = \sum_{j=0}^{N-1=9} e^{ -\mathrm{i} \cdot 4\pi \cdot t_j } \cdot f(t_j) = \ldots = 15 +0\mathrm{i} = y_2 = {\hat c}_2

Izračunavanje ostalih koeficijenata ide analogno, te ćemo ih ovde samo navesti kao rezultate:


F(\omega_3 = 6\pi) = 2.5 - 3\mathrm{i} = y_3 = {\hat c}_3

F(\omega_4 = 8\pi) =  6.7586e-14 + 2.8240e-14i = y_4 = {\hat c}_4

Imamo {\hat c}\,, sada želimo da izbacimo sve previše „tihe“ tonove. Trebaju nam c_k\,:


c = {\hat c} / N \Rightarrow c_i = {\hat c}_i / 10

c_i:\, 10 -0.35i 1.5 - 0i 0.25 - 0.3i 0 + 0i


Znamo da važi: c_0 = a_0, c_{i>0} = \frac{1}{2}(a_i - b_i \mathrm{i}). Na taj način možemo da izračunamo a_i\, i b_i\,:


a_0 = 10\,

a_1 - b_1 \mathrm{i} = -0.7 \mathrm{i} \Rightarrow a_1 = 0, b_1 = 0.7\,

Ostale amplitude:

a_2 = 3\,
a_3 = 0.5\,
b_3 = 0.6\,
a_4 = b_4 = 0\,

Iz a_4=b_4 = 0\, možemo da zaključimo da frekvencija od 4 Hz nema u našem signalu. Često je vrlo zgodno navesti sve amplitude u grafikonu. Amplituda A_k\, za neku frekvenciju k je A_k = \sqrt{(a_k^2 + b_k^2 )}.

Sve a_i\, i b_i\, za koje važi \sqrt{(a_i^2 + b_i^2 )} < 1 izbacujemo i na kraju dobijamo rekonstruisanu i obrađenu funkciju:

f(t) = 10 + 3\cos(2 \omega t)\,

Sada možemo da ponovo da izračunamo f(t_i)\, ili da se poslužimo IDFT i tako prerađen signal snimimo u memoriju.

Primer u C-u[uredi - уреди]

#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <complex.h>

#define pi 3.14159265
#define N 1000
#define T 0.001
#define FREQ 25

double my_function (double t )
{
         /* violina svira ton od 25 Hz */
         double ugaona_brzina = 2 * pi * FREQ;
         return 5 + 10 * cos(ugaona_brzina * t) + 15 * cos(2 * (ugaona_brzina * t) ) 
                        + 20 * sin (3 * (ugaona_brzina * t) );

}

complex double get_fourier_coef (double omega_n, double* t, double* f  )
{
         complex double coeff = 0;

        int k = 0;

        for (k = 0; k < N; k ++ )
        {
                // f[k] == f(t[k] );
                coeff += cexp (- I * omega_n * t[k]) * f[ k] ;
        }
        return coeff;
}

int main()
{
        double t[N];
        double omega[N];
        double f[N];

        double a[N/2+1];
        double phi[N/2+1];
        int n = 0;

        complex double coeff[N];
        
        /* pripremi vektore t i f_t -> nas signal je f_t !*/
        t[0] = 0;
        f[0] = my_function (t[0] );
        omega[0] = 0;

        for (n = 1; n < N; n ++ )
        {
                omega[n] = 2 * pi * n / (N * T );
                t[n] = n * T;
                f[n] = my_function (t[n] );     
        }

 
        /* izracunavanje koeficijenata */
        for (n = 0; n < N/2+1; n ++ )
        {
                coeff[n] = get_fourier_coef (omega[n], t, f );
                if (cabs(coeff[n]) > 0.1 ){
                        printf ("# Koeficijent %d:  %e * e^i*%e\n", n, cabs(coeff[n]), carg(coeff[n]) ); 
                }
        }
        
        

        /* krece inverzija: */          
        a[0] = cabs(coeff[0]) / N;
        phi[0] = 0;
        for (n = 1; n < N/2+1; n++ )
        {
                if (cabs(coeff[n]) > 0.1 )
                {
                        // c = 1/2 (a + ib ), zato a = 2 * |c|, b == 0 
                        a[n] = 2  * cabs(coeff[n]) / N; 

                        if (abs (carg(coeff[n])) > 0.001 )
                        {
                                phi[n] = carg(coeff[n] );
                        }
                         else 
                        {
                                phi[n] = 0;
                        }
                } 
                else 
                {
                        a[n] = 0;
                        phi[n] = 0;
                }
        }


        /* predstavljanje rezultata: */
        printf ("Nasa rekonstrukcija:\n f (t) = %e", a[0] );
        for (n = 1; n < N/2+1; n++ )
        {

                if (a[n] )
                {
                        if (phi[n] )
                        {
                                printf (" + %e * cos (%d * (2 * pi * t + %e) )", a[n], n, phi[n] );
                        }
                        else
                        {
                                printf ("+ %e * cos (%d * 2 * pi * t )", a[n], n );
                        }
                }
        }
        printf ("\n" );
        

        return 0;
}

Literatura[uredi - уреди]

  • Brigham, E. Oran (1988). The fast Fourier transform and its applications. Englewood Cliffs, N.J.: Prentice Hall. ISBN 978-0-13-307505-2. 
  • Alan V. Oppenheim, Ronald W. Schafer, Buck, J. R. (1999). Discrete-time signal processing. Upper Saddle River, N.J.: Prentice Hall. ISBN 978-0-13-754920-7. 
  • Smith, Steven W. (1999). "Chapter 8: The Discrete Fourier Transform". The Scientist and Engineer's Guide to Digital Signal Processing (Second izd.). San Diego, Calif.: California Technical Publishing. ISBN 978-0-9660176-3-2. http://www.dspguide.com/ch8/1.htm. 
  • Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, and Clifford Stein (2001). "Chapter 30: Polynomials and the FFT". Introduction to Algorithms (Second izd.). MIT Press and McGraw-Hill. str. 822-848. ISBN 978-0-262-03293-3.  esp. section 30.2: The DFT and FFT, pp. 830-838.
  • P. Duhamel, B. Piron, and J. M. Etcheto (1988). "On computing the inverse DFT". IEEE Trans. Acoust., Speech and Sig. Processing 36 (2): 285–286. doi:10.1109/29.1519. 
  • J. H. McClellan and T. W. Parks (1972). "Eigenvalues and eigenvectors of the discrete Fourier transformation". IEEE Trans. Audio Electroacoust. 20 (1): 66–74. doi:10.1109/TAU.1972.1162342. 
  • Bradley W. Dickinson and Kenneth Steiglitz (1982). "Eigenvectors and functions of the discrete Fourier transform". IEEE Trans. Acoust., Speech and Sig. Processing 30 (1): 25–31. doi:10.1109/TASSP.1982.1163843. 
  • F. A. Grünbaum (1982). "The eigenvectors of the discrete Fourier transform". J. Math. Anal. Appl. 88 (2): 355–363. doi:10.1016/0022-247X(82)90199-8. 
  • Natig M. Atakishiyev and Kurt Bernardo Wolf (1997). "Fractional Fourier-Kravchuk transform". J. Opt. Soc. Am. A 14 (7): 1467–1477. doi:10.1364/JOSAA.14.001467. 
  • C. Candan, M. A. Kutay and H. M.Ozaktas (2000). "The discrete fractional Fourier transform". IEEE Trans. on Signal Processing 48 (5): 1329–1337. doi:10.1109/78.839980. 
  • Magdy Tawfik Hanna, Nabila Philip Attalla Seif, and Waleed Abd El Maguid Ahmed (2004). "Hermite-Gaussian-like eigenvectors of the discrete Fourier transform matrix based on the singular-value decomposition of its orthogonal projection matrices". IEEE Trans. Circ. Syst. I 51 (11): 2245–2254. doi:10.1109/TCSI.2004.836850. 
  • Shamgar Gurevich and Ronny Hadani (2009). "On the diagonalization of the discrete Fourier transform". Applied and Computational Harmonic Analysis 27 (1): 87–99. doi:10.1016/j.acha.2008.11.003. preprint at. 
  • Shamgar Gurevich, Ronny Hadani, and Nir Sochen (2008). "The finite harmonic oscillator and its applications to sequences, communication and radar". IEEE Transactions on Information Theory 54 (9): 4239–4253. doi:10.1109/TIT.2008.926440. preprint at. 
  • Juan G. Vargas-Rubio and Balu Santhanam (2005). "On the multiangle centered discrete fractional Fourier transform". IEEE Sig. Proc. Lett. 12 (4): 273–276. doi:10.1109/LSP.2005.843762. 
  • James Cooley, P. Lewis, and P. Welch (1969). "The finite Fourier transform". IEEE Trans. Audio Electroacoustics 17 (2): 77–85. doi:10.1109/TAU.1969.1162036. 
  • F.N. Kong (2008). "Analytic Expressions of Two Discrete Hermite-Gaussian Signals". IEEE Trans. Circuits and Systems –II: Express Briefs. 55 (1): 56–60. doi:10.1109/TCSII.2007.909865. 

Vidi još[uredi - уреди]