Binomna teorema

Izvor: Wikipedia

Binomna teorema je teorema elementarne algebre i opisuje koeficijente stepena binoma kada je on predstavljen u razvijenoj formi. Po ovoj teoremi, moguće je predstaviti izraz (x + y)n sumom sabiraka oblika axbyc, gde su koeficijenti a pozitivni celi brojevi, pri čemu je zbir eksponenata x i yjednak n za svaki sabirak. Na primer:

(x+y)^4 \;=\; x^4 \,+\, 4 x^3y \,+\, 6 x^2 y^2 \,+\, 4 x y^3 \,+\, y^4.

Koeficijenti koji se pojavljuju u binomnom razvoju nazivaju se binomni koeficijenti. Oni su identični brojevima koji se pojavljuju u Paskalovom trouglu. Ovi brojevi se mogu izračunati jednostavnom formulom koja koristi faktorijel.

Isti ovi koeficijenti se javljaju u kombinatorici, gde je izraz xnkyk jednak broju različitih kombinacija kelemenata koji se biraju iz skupa od n članova.

Formule[uredi - уреди]

Koeficijent koji stoji uz xnkyk dat je formulom:

{n \choose k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}

koja je definisana uz pomoć funkcije faktorijela n!. Ova formula se može napisati i na sledeći način:

{n \choose k} = \frac{n (n-1) \cdots (n-k+1)}{k (k-1) \cdots 1} = \prod_{\ell=1}^k \frac{n-\ell+1}{\ell}

gde su k faktori i u imeniocu i u brojiocu razlomka. Iako se u ovoj formuli koristi razlomak, binomni koeficijenti su celi brojevi.

Iskaz teoreme[uredi - уреди]

Svaki stepen izraza x + y moguće je predstaviti u formi:


\begin{align}
(x+y)^n & = {n \choose 0}x^n y^0 + {n \choose 1}x^{n-1}y^1 + {n \choose 2}x^{n-2}y^2 + {n \choose 3}x^{n-3}y^3 + \cdots \\
& {} \qquad \cdots + {n \choose n-1}x^1 y^{n-1} + {n \choose n}x^0 y^n,
\end{align}

gde  \tbinom nk označava odgovarajući binomni koeficijent. Drugi način zapisivanja ove formule je:

(x+y)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k}x^{n-k}y^k.

Literatura[uredi - уреди]

  • Bag, Amulya Kumar (1966). "Binomial theorem in ancient India". Indian J. History Sci 1 (1): 68–74. 
  • DOI:10.2307/4145193
    This citation will be automatically completed in the next few minutes. You can jump the queue or expand by hand
  • Graham, Ronald; Knuth, Donald; Patashnik, Oren (1994). "(5) Binomial Coefficients". Concrete Mathematics (2nd izd.). Addison Wesley. str. 153–256. ISBN 0-201-55802-5. OCLC 17649857. 

Vanjske veze[uredi - уреди]